根據《現代ビジネス》報導，數學不僅是紙筆上的推演，更是現實世界中解決問題的利器。以體育比賽為例，如何在五支球隊總對抗賽中排出正確的順位？這其實可以用「圖論」的「有向圖」輕易解決。

數學中的「圖論」（Graph Theory）早已深植於我們的生活中，從郵差送信的最短路線、交通管制設計，到數獨解題、AI訓練模型，皆離不開圖論的應用。本書《圖論「超」入門：從歐拉的靈感誕生的全新數學》以生動的案例，帶領讀者從零基礎理解圖論的奧妙。

總對抗賽的排位難題

假設有五支球隊 A、B、C、D、E 進行一場總對抗賽，每支球隊與其餘四隊各戰一次，總共 10 場比賽。現有勝負分數如表所示，問題在於——如何根據這些數據排出 1～5 名，且不允許同分？

傳統方法：得失分差或直接對決

在傳統的體育賽事中，常見的排位方式包括「得失分差」與「直接對決」。以得失分差為例，若 A 隊得失分為 +10、B 隊為 +4，則 A 隊勝出；若 D 隊與 E 隊得失分為 -5 和 -2，E 隊排名更高。

而直接對決則簡單直接，若 B 隊與 C 隊得失分相同，但 C 隊在直接對戰中擊敗 B 隊，則 C 隊排名更高。透過這些方法，可以得到如下的排名結果：

  • 得失分差法：1. A, 2. B, 3. C, 4. E, 5. D
  • 直接對決法：1. A, 2. C, 3. B, 4. D, 5. E

數學解決：有向圖與出度數

若想進一步利用數學方法，可透過「有向圖」（Directed Graph）來表達勝負關係。在圖論中，勝者會連接一條箭頭指向敗者，稱為「有向邊」，而勝者「出發」的邊數稱為「出度數」（out degree），敗者「接收」的邊數稱為「入度數」（in degree）。

例如，A 隊勝過 B、C、D、E，其出度數為 4；B 隊勝過 D、E，出度數為 2。透過計算各隊出度數，再進一步觀察「勝過的對手是否強勢」，就能更客觀地評估排名。

更進一步的排序邏輯

圖論中有一個定理稱為「有向哈密頓路」（Directed Hamilton Path），由 1934 年匈牙利數學家 Rédei 所提出。此定理指出：

任何總對抗賽結果所形成的有向圖中，總存在一條路徑，可以沿著邊的方向走訪所有頂點。

在本例中，沿著箭頭方向可以走訪 A → C → B → D → E，這條路徑即代表排名。因此，根據圖論方法，最終排名為：

  1. A
  2. C
  3. B
  4. E
  5. D

數學背後的邏輯與應用

圖論不僅是體育排位的工具，更是現代科技的基礎。根據日本東京大學數學系教授山田洋一的觀點：「圖論是理解複雜系統的鑰匙。」他補充說，圖論可以用於社會網絡分析、推薦系統、物流優化，甚至協助 AI 模型學習人類的邏輯推理。

數學不只是紙上談兵

本書作者指出，圖論的應用價值在於「將複雜問題簡化為圖形與邏輯」。透過有向圖，我們不僅能排出球隊順位，更能深入探討「勝利背後的強弱關係」，這種思維可以用在企業競爭分析、市場佔有率預測等領域。

引用區塊

數學之美在於它能幫助我們看到隱藏在數據背後的模式。——《圖論「超」入門》

📰 本文資料來源 • 現代ビジネス • 《圖論「超」入門》講談社 • 東京大學數學系網站